回归原点——浅谈08年数一真题

今年因为我有带的学生要参加考研，所以从昨天中午开始就一直在关注试题，想知道08的数学究竟会出成什么样，想知道我这个老师平时教他们的到底能用上多少。后来看到了题目，不由得不吸口凉气……
以前作为考生时，我是本着全盘吸收融会贯通的目的去学，所以随便出题人什么时候考，以什么方式考，都无所谓，也从没去想过题目会怎么出，总体态度就是基础打好了思维锤炼了什么都不怕。但是这次作为老师，切实的感觉到，从大多数考生（并非都像我这样有兴趣钻研数学的同学）的角度出发来看，需要一些方法和套路，而不幸的是，可能由于惯性思维，我们不知不觉把这些最近几年逐渐形成的复习套路和经验奉为圣经了，虽然本意是想尽量减轻学生的负担，但也正是这样的心理让我们上了当。我预料到了今年概率不会再考似然估计而很可能考统计量的组合，但我绝对没想到大题会考傅立叶级数和原函数这两个直接从同济高数课本上就能找到出处的点，而且，虽然平时一直在强调基础的重要性，但能真正打好功底的又能有多少，恩，看来需要总结、需要学习的东西真是太多太多了。
这次的数学大题的设置，可以说给了陷入了惯性思维的应考者们当头一棒，我昨天晚上把题目尤其是大题仔细做了一遍，留下最深刻的感觉就是，曾经有很多考过的人强调的，把历年真题当宝一样去研究，体会命题思路，企图通过这个去勾画出数学考试的一个重点轮廓出来，这一条经验如今看来是大错特错了。
回归原点，是今年数学题目的特点。回归原点，也是今后我们复习需要特别重视的一个目的，以课本为立足点，中间经过复习全书和模拟试题的训练，最后还要再回到课本。就像我前面说的，基础打好了思维锤炼了，什么都不怕，以前一般都以为复习全书反复搞几遍、400题都做完、历年真题琢磨透，就等于135+的分数了，但现在看来，在此基础上还要加最后一个过程，回到书本中，让所有的知识点在自己头脑中形成再现，且是深刻理解过后的再现。
我们都知道数学复习的一般过程，是分为三个阶段，从课本到复习全书再到历年真题和模拟试卷，但是第一个阶段通常被视为可有可无的，而今年的数学题目算是给我们提了个醒，忽视课本，要吃亏。
另外还有就是，千万不要人为的去给数学划分重点……像线性代数，我们通过做历年真题和平时的模拟试卷，都习惯了其典型的套路：两道大题，一道是通过参数的取值分类讨论方程组的解的情况，一道是用特征值特征向量（可能结合二次型）来给矩阵作变换。但就如很多人所说的，这次看到线代第一题就傻眼了，为什么，因为压根没有想到会这么考，所以就没有作好这方面的准备，线代第二题没有脱离以前的套路，但在之前加了一个求行列式的内容，这个也是出乎我们意料的。
所以，我想，今年的试卷让我们彻底想明白了一个道理，历年真题，能给我们提示没错，但这个提示有时也可能把我们束缚住，让我们下意识的以为，历年真题里出现过的，出现得多的，就一定是会考的，没出现过的，出现得少的，就永远是边缘内容，殊不知这正是我们自己把自己给套牢了。
做题的手段，巧妙解题的方法，我知道这些在考研数学里一定不是考察的重点，复杂的计算也不是重点，我预料到了对数学原理的把握是最重要的出题切入点，但我没有预料到今年的题目风格会改变得如此彻底，把这个切入点体现得如此彻底，几乎每道大题都是要从定义出发去解读的，这和07、06、05的题目在设置上的延续性完全不同。07年难难在前面的小题计算量大，一上来就打击死人，但仔细观察你会发觉07年的大题题目类型并不“新”，而今年的题目严格的说不算难，但是绝对让人不适应，让应变能力稍差的考生看到考题楞得说不出话来。
我们来看一下，有哪些非典型设置让人不适应：
傅立叶级数那道题，你可以说它出得偏了，但其实这个题目可是取自于高等数学教材后的习题，因为这类级数是无法用构造幂级数的方法求和的，平时我们习惯了幂级数的求和和展开，忽视了傅氏级数的应用，这道大题，是一个利用已知的数学知识来分析和解决问题的经典例子，大数学家欧拉都曾在类似的问题上犯了糊涂，如果这道题目不会做（比如忘记了怎么求系数），那就是因没有足够重视带来的惩罚。
导数定义那道题目，就是“连续函数必存在原函数”这个命题的证明，从定义出发，再结合积分中值定理和函数的连续性就能推得，这道题目代替了以往的典型中值定理证明题，让人初看到有点摸不着头脑，其实大可不必，就算你不记得书上的证明过程，自己尝试着把它当作一个未知问题去解决，也并无不可。
线代第一题摇身一变，直接来了个证明，这个题目需要你敏锐的观察出由一个列向量及其转置生成的矩阵其实秩是1，再加上一个平时肯定熟得不能再熟的r(A+B)<=r(A)+r(B)就搞定了，关键是第一步，要能看破，就算你不能看破，冷静点想想，列向量和行向量也是矩阵，是秩为1的矩阵，那么两个乘起来秩也只能小于等于1，突破点不就找到了……
线代第二题我个人认为较难，尤其是求行列式，我用的是按列或行展开，用递归法求得的，但比较麻烦，容易出错，sina上的答案给的方法更好一些，求出行列式以后就好办了。
概率第一题可以说既典型又不典型，典型的是框架和以前一样，求函数的分布，不典型的是把离散性和连续性结合在一起了，这牵涉到划分，再用全概率公式，同时自变量区间的讨论也更复杂些了，公式已经不再适用，完全依靠你对随机变量分布的理解——本质上是一个概率，然后通过分析去求各种情况下的这个概率来确定分布函数，进而确定概率密度。
概率第二题第二问，这个是看你对各种统计量组合的熟悉程度，但如果课本第六章那几个基本的统计量你能信手拈来，想到S可以和卡方分布联系在一起，无非是多个系数，但其方差是自由度的2倍，这题难度就下来了，sina上给的答案过程复杂了些，完全不必那样做，直接把括号打开，因为样本均值和样本方差是独立的，再通过系数的变化凑出两个卡方分布出来，很快求得结果。
另外三道大题，一个求极限，一个求曲线积分，属于典型设置，只要计算细心一些都好拿分，至于最大值最小值那题，你可以什么都不管，直接转化成一个条件极值来做，但如果你对题目给的两个曲面的几何图形都熟悉的话（这取决于你对课本基础知识点的掌握），你就能想象出，这条曲线其实是一个斜平面去截一个圆锥面得到的交线，肯定是椭圆无疑，只不过其长轴与x轴、y轴有一夹角而已，想象出这个图形以后，马上可以判断，该曲线的最值点就取在椭圆长轴的两个端点上，不难理解吧，就像一个平面上的椭圆绕其短轴旋转了一个角度，它的最高点和最低点是不是都取在离短轴最远的地方？剩下的事情就是去找椭圆长轴端点的坐标了，这个用立体几何或者解析几何的方法都可以，就不多说了。
小题我没有像大题那样仔细做，除了求零点那几道需要细算的题，大多看过以后思考了一下，基本都能选出答案，我可以确定的是，今年的小题难度低于07年的，不过风格稍有不同。总的来说，今年的小题特点就是注重基础，从基础出发，选择第二题求梯度、第三题高阶线性常系数微分方程解的结构、第七题max函数的分布、第八题相关系数及正态分布的组合、填空第一题一阶线性齐次方程、第二题微分几何应用、第三题级数收敛半径的确定及端点敛散性讨论（收敛域和收敛区域的不同）、第四题求二类曲面积分、第五题通过已知关系判断特征值特征向量、第六题泊松分布，都是对基础知识点的直接考察，从相应知识点的定义出发，都能一一解决。稍微烦琐一点的是判断零点、抽象级数敛散性的概念题、二次曲面的形状及相应方程、判断矩阵可逆与否这四道题。
判断零点的题目今年合工大五套题反复出现，这个大家应该不会陌生，抽象级数概念题也是典型题，几乎每年必考的，只有通过二次曲面的形状判断正负惯性系数这道题是真正意义上的新颖，因为我们学二次型的时候，往往把主要精力集中于正交变换这块的计算，却忘记了二次型本来是由二次曲面发展出来的，也就是说一个二次型实质上是有对应的几何意义的，这次就考到了这个。类似的章节和知识点需要引起我们的注意，我敢说，有很多同学，知道特征值特征向量是怎么个求法，但是这些个概念是怎么提出来的，是因为要解决什么样的问题二发展起来的，相应的几何意义有没有，有的话那是什么，这许多问题大概很少有人会去想。但实际上，如果你对上述问题去进行过思考（自己想）和探索（看书），即使不能完全说出个所以然，你对相应的知识点的理解一定会再上一个台阶，而到了这个台阶，就真的是不管命题人如何出题，你都能从容应对了。
总之，对09的考生来说，一定要重视对书本上基本知识点（定义、定理）的理解和掌握，不能忽视课本阶段的学习，即使到后期自己水平强化提高上去了，还是要再回归原点，因为这时再看课本和刚开始看课本得到的收获一定都是不同的，会有更高层次的体会。另外就是，一定要拓宽思路，不能再想着有捷径可走，要抱着“一切皆有可能考”的态度去扎扎实实的走完复习之路。