考研数学级数之五步搞定法

考研备考中，对高等数学的级数这部分的复习有很多同学存在困扰，究其原因，可能是因为其与微积分的联系不是很紧密。但是关于级数敛散性的判别有一些常规步骤，掌握了这些步骤，在其后才能灵活运用它解决更多综合性的题目。

级数题型及思路（以下内容整理自《高等数学过关与提高》下册）：

一、判定正项级数的敛散性

1.先看当n趋向于无穷大时，级数的通项是否趋向于零（如果不易看出，可跳过这一步）。若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则

2.再看级数是否为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性是书籍的，如果不是几何级数或p级数，则

3.用比值判别法或根值判别法进行判别，如果两判别法均失效，则

4.再用比较判别法或其极限形式进行判别，用比较判别法判别，一般应根据通项特点猜测其敛散性，然后再找出作为比较的级数，常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等。

二、判定交错级数的敛散性

1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定。

2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定。

3.一般情况下，若级数发散，级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散，则级数必发散。

4.有时可把级数通项拆分成两个，利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定。

三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域

1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增，则其收敛半径由求出，进而可以写出收敛区间，再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域。

2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数，可根据比值判别法求收敛半径，也可作代换，换成t的幂级数，再求收敛半径。

四、求幂级数的和函数与数项级数的和

1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式，再求和。

2.求数项级数的和，可利用定义求出部分和，再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值。

五、将函数展开为傅里叶级数

将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数，这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算，然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系。