2013考研数学 矩阵的特征与向量讲解

矩阵的特征值与特征向量问题是考研数学中一常考点，然而在最后冲刺这一阶段，同学们在做真题和模拟题《考研数学绝对考场最后八套题》时对这一考点还存在一些疑惑，对此，考研数学的辅导老师特撰此文讲解矩阵的特征值与特征向量问题，助同学们考研成功。

矩阵的特征值与特征向量的定义：

设为阶矩阵，若存在常数和向量，使得，则称为矩阵的特征值，称为矩阵的属于特征值的特征向量。

求特征值与特征向量的常用思路：

1.根据定义求特征值和特征向量。

2.当已给出矩阵，通过求出特征值，然后通过求齐次线性方程组的基础解系，求出矩阵的属于特征值的线性无关的特征向量。

3.利用关联矩阵的特征值之间的关系求特征值，如互逆矩阵的特征值互为倒数;相似矩阵的特征值相同;和有相同的特征值等。并利用关联矩阵特征向量之间的关系求矩阵的属于特征值的特征向量，如当可逆时，、与对应的特征值的特征向量相同等。

一般矩阵与实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：

1.阶矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹，阶矩阵的所有特征值之积等于矩阵的行列式。

2.设为阶矩阵的特征值，若为矩阵的属于特征值的特征向量，则也是矩阵的属于特征值的特征向量。

3.实对称矩阵的特征值都是实数。

4.矩阵的不同特征值所对应的特征向量线性无关，实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。

上述讲解得比较简单，同学们可自行翻阅《2013全国硕士研究生入学统一考试线性代数辅导讲义》，并结合相关典型例题习题来加深理解和掌握。