常雷老师谈：考研数学如何死磕150

连续五年考研经历，数学多次满分，1994-2015年22年真题每年至少都做过五遍以上。11年开始教授考研数学。在这里简单跟大家谈下数学的复习方法。记得我曾经跟学生说：不管你承认不承认，考研数学就是很难，不管你是中科大本科生还是安大数学系的大家面临数学时候都是差不多的。考研过程中，数学不仅非常重要，而且也是最能拉开分数的科目。常老师一直认为：数学分数决定能否进复试;专业课水平决定能否被录取。不管你现在复习到什么程度，我相信没有人敢保证一定能拿高分，毕竟数学太吓人，8道选择题+6道填空题。每题4分，总共56分。分值一道4分，分量太重，不允许我们有失误。这里常老师假设这14道题，大家都会做。我之前在讲经济学里博弈论的时候，特别感兴趣的一个均衡：颤抖的手均衡;说的是即使你认为百分百确定的事，也有可能因为手抖了下，而做出了错误的选择。我数学考140+的那两年，就是因为自己太自信了，形成惯性思维，肯定是这样的，所以就没有多加去思考直接动手，最后手一抖选的并不是自己想要的答案。对待数学我最常告诫学生的就是：提高实战能力;真的好多同学都很花哨，看上去特别厉害，模拟的分也特别高。最后考出来，却惨不忍睹。这就是我所谓的实战能力。教授数学的课堂上，我常说这样一句话：你会做不一定能做出来，你做出来不一定对，对不一定能得分，得分不一定能得满分等等来提醒大家务必要格外细心。 数学是一门神奇的学科，也是一门很美、美的很自然的学科，考研过程中，如果想得高分，必须软实力和硬实力齐具备。这里常老师就具体谈下：

　　一、 理性分析三个组成部分，各个击破

　　我们知道数学整个试卷的组成部分是：高数82分+线代34分+概率论34分;很明显微积分占了绝大部分;另外概率论里面很多题目要用到微积分的工具，实际上微积分的分数比82分要高， 应该是能到100分左右。所以同学们在前期复习的时候一定要把微积分的基础打扎实;线性代数再难，毕竟内容不多。而且矩阵、向量、线性方程组、特征根与特征值、二次型本质思想都是一致的。用来用去的基本工具就是对矩阵做初等变换，求线性方程组解的结构，线代难是难在每个部分的基本思想都是一样的，但却是不同的概念。就导致章节之间的联系特别紧密，逻辑关系严密：比如线性相关无关的问题跟齐次方程组有没有非零解本质上是一模一样的;向量线性相关和无关的一些证明都可以用线性方程组的解去简单完成;也就是因为知识点这种内在的极大相关性提高了线性代数的考试难度。但由于线性代数知识点本身不多，只要把每一部分都熟练到一定程度，深刻理解掌握，自然而然也就能掌握其中的联系和逻辑了。第三部分的概率论很多基本概念我们在高中的时候其实已经接触到了，一些简单的事件概率的运算、基本概型我们也都早就学过。总体来说概率论是三个部分中最简单的。不但内容少，而且每年考的题型也都特别固定。这部分内容常老师真的认为完全可以用突击来完成的。综上所述：微积分是整个考研的难点、重点。必须脚踏实地把基础打扎实;线性代数是难点，这个用熟练程度和思考可以破;概率论，只要你前面的知识学的够扎实，就完全没问题。另外在复习过程中，不少同学问我，要不要同时看微积分、线性代数、概率论;这里常老师的建议是：合力于一点，各个击破!谦虚谨慎，不骄不躁。

　　二、 聚焦精力、选好教辅

　　每年都有一个现象，就是在选教辅书上，经验贴里提到的，师兄师姐提到的，一切渠道提到的所谓比较好的资料，巴不得全买了，但是买回来后又有多少人能全部做完呢。这里常老师不得不提醒下：须知考研数学考的是深度，而不是广度;我一直认为有三套书就足够了：

　　(一)教材，高数同济版的;线代统计五版;概率论浙大四版;

　　但这里不得不提醒大家，这四本书如果全部看下来掌握透彻，是需要很大时间和精力的;里面很多东西是所不考的，即使大纲里有。其实在复习的时候，很多同学把过多的精力，放在了那些不考，而且比较偏的题目上。就会导致大量的精力浪费。为此，常老师在教授数学中，就会提前给一份预习大纲，哪些考哪些不考;课后习题哪些做，哪些不做。从而能让大家精力聚焦;

　　(二)李永乐的复习全书。

　　这个各个机构再怎么吹捧，这本书的经典性是毋庸置疑。强化时期结合教材做3-5遍，会取得意想不到的效果。常老师还是那句话：题不在多，做精则灵;

　　(三)真题

　　不管怎么说，每一本习题里都参照了不少真题原型，甚至直接就是真题。真题的价值不必多说。但是每个同学对待的也很简单，只要做对了，就pass掉了。不回头去想你的做法或者你的思维是否符合命题人的要求。关于真题，对于比较好的典型题做5遍左右是比较合适的。对一些很常规的题，可以2-3遍就可以了。总之一定要深刻研究真题，让真题的价值发挥到最大。常老师忠告：市面上教辅书很多。我认为只要你选择大家公认的，把其价值发挥到大，认真去研究就足够了。不要人云亦云，购买过多的教辅书，导致自己精力分散，反而没有达到考研要求的深度和难度。

　　三、 掌握正确的复习方法：杀人诛心

　　在复习数学时，确实每个人都有自己的想法，但是切记你怎么想不重要，关键是命题人怎么想。尤其是在做题的时候，千万不要简单地以能不能做出来为标准。一定要去分析背后所用的知识点以及考试逻辑。最后一定要问自己，这种方法是不是命题人想我用的方法。有哪些不足，有哪些忽略的细节，一定要好好审视。另外数学考试特点：学会思考而不是学会做题;但是在我们对一道题足够熟悉前，是很难产生想法的;所以在整个复习过程中，我一直要求学生：先熟悉，然后一定要经过自己的思考才能真正把这道题变成自己的，才能做到举一反三，以不变应万变。另外同学在做题的时候容易出现两个误区：

　　1、上来就动手，做过真题的同学就会发现，很多题目的设置是很有技巧的;这个技巧不是那种投机取巧，是需要你对知识点足够熟悉，需要你思考下才能想出来的。我记得这几年考试，很多10、11分的答题，我整个做出来都不到一分钟。当然很多同学可能不相信，在课堂上我也都亲自展现给同学们看了。不是说常老师厉害，而是当你熟练到一定程度的时候，就会跟命题人心有灵犀一点通了。所以做题的时候一定要：一看二想三动手;

　　2、刻意去记一些巧方法;考研数学中，我一直认为最好的方法绝对不是投机取巧，而是自然而然的方法;比如费马引理可能不会直接考到，但是它的证明你运用的思想和思维都是考研中必须要用到的。所以必须认真掌握其证明。

　　那在复习中什么样的方法是正确的呢，这里我简单谈下自己的看法：

　　第一步;必记的一定要熟记

　　每次我在讲授微积分的时候，都会说这样一句话，不管怎么样，你先把这四个公式记住再说：

　　　　1. 等价无穷小

　　　　2. 基本求导微分公式

　　　　3. 基本积分公式

　　　　4. 基本泰勒公式

　　这四个公式相当于微积分里的基本工具，是全书都需要用到的。很多同学告诉我老师没事，我用到的时候再去查，我感觉那样很是消耗信心和耐心的。另外还有就是一些基本概念和定理，以高数第一章为主：

　　　　1. 数列、函数的极限定义

　　　　2. 极限的保号性定理

　　　　3. 等价无穷小、同阶、高阶、低阶无穷小的定义

　　　　4. 函数连续的定义

　　　　5. 闭区间上连续函数的定理等等

　　这些同样属于考研数学中基本元素，一定掌握到一定程度，不能似懂非懂。差不多记住了等。这些定义，我每个都写的不下于20遍;不是因为我记不住，而是每多记一次，我就会多一度理解。

　　第二步：掌握必考的逻辑和思维

　　比如求极限每年都是必考的，题型也比较固定。这就属于我们必须要掌握住的题型和方法

　　一般按照如下步骤进行：

　　　　1. 判断类型

　　　　2. 简单代换(无穷小代换或者倒代换)把分母变为一项

　　　　3. 拆分组合;能拆就拆，拆不了就合

　　　　4. 洛必达或者泰勒公式

　　还有间断点和渐近线也是每年必考的。关于间断点，我们要知道，间断点就考两类：

　　　　1.可去间断点(就是求极限)

　　　　2.无穷间断点(就是求垂直渐近线)

　　还要知道求渐进线的基本步骤：

　　　　1.先求垂直渐近线(找没有定义的点)

　　　　2.再求水平渐近线(分左右两侧趋近)

　　　　3.最后求斜渐近线(分左右两侧趋近)

　　　　4.切记同一侧水平渐近线和斜渐近线不能同时存在。

　　第三步：锻炼良好的数学心态

　　数学中考的全部是主流的重难点，绝没什么偏题、怪题、难题。从当年的拉式中值定理证明到今年积的求导法则证明;更加偏向基础以及学生对基础问题的掌握熟练程度。因此是否真的对主流的知识点掌握到一定程度至关重要。但是即使这样很多学生在复习过程中，也一直患得患失：万一考了怎么办。我说的也很直接：考了就考了，在数学中不要怕什么万一，就算真有万一，你把那万分之9999掌握住也足够了。真有万一，常老师负全责。

　　四、 心存敬畏、心存感恩

　　毛主席曾说过一切反动派都是纸老虎，我们战略上轻视、战术上重视。在复习数学中一定不能让忙碌耽误了思考。还记得13年跟120分的学生聊天的时候：他说数学很简单，只是我没发挥好;跟150分的学员交流时他却说：今年的数学不容易;我想不管简单或者容易，最后的分数总能说明一切。当我们在复习过程中，要认真对待每一道题：做到心存敬畏;另外做对的时候一定要心存感恩;