考研数学、导数与微分、中值定理与导数的应用

▶导数与微分
　　1、导数存在的充分必要条件
　　●函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限
　　lim（h→-0）[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim（h→+0）[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。

　　2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。

　　3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。

　　4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。

　　▶中值定理与导数的应用
　　1、定理（罗尔定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ<b），使的函数f(x)在该点的导数等于零：f’(ξ)=0。

　　2、定理（拉格朗日中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ<b），使的等式f(b)-f(a)=f’(ξ)（b-a）成立即f’(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a）。

　　3、定理（柯西中值定理）如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且F’(x)在（a,b）内的每一点处均不为零，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

　　4、洛必达法则应用条件
　　只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。

　　5、函数单调性的判定法
　　●设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，那么：
　　（1）如果在（a,b）内f’(x)>0，那么函数f(x)在[a,b]上单调增加；
　　（2）如果在（a,b）内f’(x)<0，那么函数f(x)在[a,b]上单调减少。

　　●如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。

　　6、函数的极值
　　●如果函数f(x)在区间（a,b）内有定义，x0是（a,b）内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x,f(x)<f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值；如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x,f(x)>f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

　　●在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点（导数为0的点），但函数的驻点却不一定是极值点。

　　●定理（函数取得极值的必要条件）设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’(x0)=0。

　　●定理（函数取得极值的第一种充分条件）设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么：
　　（1）如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值；
　　（2）如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值；
　　（3）如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。

　　●定理（函数取得极值的第二种充分条件）设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：
　　（1）当f’’(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；
　　（2）当f’’(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值；

　　●驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。

　　7、函数的凹凸性及其判定
　　设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]<
　　[f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。

　　●定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内具有一阶和二阶导数，那么
　　（1）若在（a,b）内f’’(x)>0，则f(x)在闭区间[a,b]上的图形是凹的；
　　（2）若在（a,b）内f’’(x)<0，则f(x)在闭区间[a,b]上的图形是凸的。

　　●判断曲线拐点（凹凸分界点）的步骤
　　（1）求出f’’(x)；
　　（2）令f’’(x)=0，解出这方程在区间（a,b）内的实根；
　　（3）对于（2）中解出的每一个实根x0，检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0，f(x0)）是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0，f(x0)）不是拐点。

　　●在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。